今天给各位分享报童问题及其求解的知识，其中也会对报童问题及其求解进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！
视频讲解链接：
Hello，各位小伙伴。今天为各位分享的是随机规划问题中一个比较经典的问题——报童问题（The Newsvendor Problem）。
目录问题描述模型建立模型求解实际案例 想象一个报童，每天早上去报纸厂批发一批报纸，然后拿到街上去卖。报纸批发太少，利润就少（这时可视为损失了本该赚到的钱）；但批发太多，卖不出去就亏了，虽然报纸厂会提供一定的回收服务，但还是会亏本。（https://zhuanlan.zhihu.com/p/281779832）
那么如何批发报纸能让利润最大呢？报童应该根据需求确定批发数量。但需求具有一定的不确定性，因此需要引入概率进行刻画。
这个问题有以下假设：采购一个商品。在一个采购周期内仅采购一次。采购之时不知道准确的需求，但其概率分布已知。商品会过期。
单位采购成本：
零售价：
残值，即商品过期之后的售价：
单位缺货损失：
需求：随机变量，概率密度函数为。其中，，且。
订货量：
最大化期望利润，即包含3部分：扣除采购成本。时，销售额和残余价值。时，销售额和缺货损失费。
基于上述3部分，期望利润的计算公式如下：
其中，为采购成本，为时的销售额，为时的残余价值，为时的销售额，为时的缺货损失费。
这里需要注意的一点是，前的符号为，实际含义就是假设报童以批发价0.3元（每份）向报社采购当天的报纸，如果报纸在当天没有卖完，他会把报纸以0.05元（每份）的价格卖给废品回收站。
因为后续公式推倒过程中会用到变限积分函数求导公式，所以需要先对其进行回顾。
如果函数连续， 和可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为:
【定理】如果函数在区间上连续，则积分上限函数上具有导数，且导数为。
目标是最大化期望利润，决策变量是订货量，也就是需要求时的。
下面详细展示的公式推导过程，首先我们把拆分为5块：
①
②
③
④
⑤
接下来分别对5块公式依次求导：
①
②
③
④
⑤
综合对5块公式分别求导结果，即公式(3)(4)(9)(12)(17)，则的求导结果如下：
令，可推出，进而求出最优订货量，即
因为
所以
至此，公式推导完毕。
已知单位采购成本、零售价、残值、单位缺货损失、需求，概率密度函数，则使利润最大化的最优订货量的计算公式如下：
如果为正太分布函数，均值和标准差分别记为和，且，那么根据正太分布变换成标准正太分布（均值为0，标准差为1）的变换公式，则，然后通过查标准正太分布表计算出，进而计算出，即。
https://www.shuxuele.com/data/standard-normal-distribution-table.htm
现有一批商品零售价为25元，单位采购成本为20元，单位剩余处理费为0.5元（需花钱处理），需求服从正态分布，均值为300个，方差为50个，单位缺货损失为5元，问商品订货量为多少才能使得商品期望利润最大？
根据公式(23)，
这里需要注意的是，因为剩余商品需要花钱处理，所以这里的残值为负数。
查正太分布表得：，则由公式(24)，可计算出最优订货量
MATLAB代码如下：
《生产存储理论》课程-黄敏报童问题及其求解-https://zhuanlan.zhihu.com/p/281779832随机规划模型（Stochastic Programming Models）-https://zhuanlan.zhihu.com/p/160994724报童问题The Newsvendor Problem-https://zhuanlan.zhihu.com/p/473728474报童问题 (The Newsvendor Problem)-https://blog.csdn.net/qx3501332/article/details/104995161
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粒子群优化算法（PSO）求解带时间窗的车辆路径问题（VRPTW）MATLAB代码 知乎 | bilibili | CSDN：随心390 本文介绍最基础的报童模型和求解，报童问题(NewsVendor Problem,NVP)是库存管理中一个非常基础的模型，有很多推广。也是随机规划的一个典型的例子。模型的建立模型的求解需求的建模
想象一个报童，每天早上去报纸厂批发一批报纸，然后拿到街上去卖。报纸批发太少，利润就少（这时可视为损失了本该赚到的钱）；但批发太多，卖不出去就亏了，虽然报纸厂会提供一定的回收服务，但还是会亏本。那么如何批发报纸能让损失最小呢？报童应该根据需求确定批发数量。但需求具有一定的不确定性，因此需要引入概率进行刻画。
有上述背景，我们不难抽象出一个数学模型，零售商在一个周期时间内，零售某种货物，这种货物具有一定时效性，过期就失去了原来的价值，为了最小化脱销和滞销损失之和，零售商需要根据需求量的分布制定进货计划。
我们引入以下记号:商家进货量 当日需求 是一个随机变量，服从特定分布，比如poisson分布 的分布函数和密度函数分别为 脱销单位商品损失 滞销单位商品损失
以下我们约定，凡涉及运算都是有意义的，比如积分，求导，反函数等。
从而我们可以表示出进货量为 时损失函数为: 我们的目标就是求这个函数的最小值，其中 。
上述期望公式用密度函数具体写出来就是： 然后对这个函数求两次导数（很经典的数分课后题）得到：
这表明 是凸函数从而全局极小值在 处取得，进而解得
反解出
基础的报童模型就解完了，还是挺简单的。
学过随机过程的同学会知道，要刻画某个服务系统在一段时间内服务的顾客数量，很多时候可以用到Poisson过程，更一般地假定客户消费数量独立同分布地服从某个分布，还可以使用复合Poisson过程来对总消费数量进行建模。
在本报童模型中，由于决策阶段只有一个，因此只需要使用Poisson分布就够了，但是由于分布不是一个连续分布，所以最后解要求逆就不一定有解。
为了方便处理，我们时常考虑对Poisson分布使用正态分布逼近，而正态分布是连续分布，分布函数很容易求逆。直观上看似乎这不太可行，因为Poisson分布取值非负，但正态分布取值可以是负的，但是考虑到正态分布的 原则，当均值足够大，而方差并不大的正态分布取负值的概率确实可以很小。
下面稍微提一下数值实现，最后的解是一个分位数点，所以可以去查分位数表，或者用现成的程序算，比如下面的Matlab的算例：
结果为56.6040 和书上一致。
2021.11.15 喜欢这篇文章的知友还挺多，评论我也都会看，只是有的问题我没法很好的回答，所以可能就没有回答（捂脸）。
报童问题及其求解的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于报童问题及其求解、报童问题及其求解的信息别忘了在本站进行查找喔。
本文导读目录：
2、随机规划 ｜ 报童问题（The Newsvendor Problem，附MATLAB代码）
3、报童问题及其求解
程晓华 2023-7-30 在管理科学上，报童问题（News Boy Problem）是个很著名的“需求不确定情况下的订货（计划）”问题，也是个典型的供应链管理问题。该问题出现在很多教科书上，描述也略有出入，但基本如下： 小报童每天从报社采购报纸，然后卖出，买入价格为每份1.5元，卖出价格为2.5元，如果当天卖不掉，剩余库存只能以每份0.5元的价格退给回报社。 以下分简单（Simple-S）和复杂（Complex-C）两种情形。 S情形： 根据历史数据，在过去的一段时间里，小报童每天最低卖出40份报纸，最多的时候卖出70份，且数据分布是离散、均匀（Discrete Uniform）的，即40~70之间的数字在过去一段时间里出现的概率是相同的。请问，在这种情况下，长时间看，小报童每天应该进货多少份报纸，他的盈利水平是最好的？ C情形： 根据历史数据，在过去的一段时间里，小报童每天最低卖出40份报纸，最多的时候卖出70份，且数据分布是随机的，即40~70之间的数字在过去一段时间里出现的概率是不同的。请问，在这种情况下，长时间看，小报童每天应该进货多少份报纸，他的盈利水平是最好的？ 针对S情形，我们先来梳理一下这个问题的各个变量： 已知的确定变量： ① 买入价格（Buy Price, BP）：1.5元 ② 卖出价格（Sales Price, SP）：2.5元 ③ 退回残值（Salvage，SV）：0.5元 已知的不确定变量： ④ 需求（Demand, D）在40~70间，且离散、均匀分布 待决策变量： ⑤ 每天采购数量（份数, X） 目标变量： ⑥ 长期利润最大化（Max Profit，MP） 这个问题之所以是个问题是因为进货少了可能不够卖的，白白丢掉赚钱的机会，而进多了则会产生呆滞库存，反而得不偿失。所以理论上一定是存在着一个所谓的最佳采购量X，使得长期收益最大化。而收益的表达式为： P=BP×min(D,X)-SP×X+SV×max(0, X-D)= 2.5min(D,X)-1.5X+0.5max(0, X-D) 式中min(D,X)的表示取D、X当中的最小值。譬如，当D=40，X=50的时候，销售额只能是2.5D；反之，当D=50，而X=40的时候，销售额也只能是2.5X； 式中的max(0, X-D)表示取0、X-D当中的最大值，因为当X>D的时候意味着进货多于销售，需要退货而产生残值；当X报童问题及其求解的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于报童问题及其求解、报童问题及其求解的信息别忘了在本站进行查找喔。
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